《代数基本概念》
《数学概览》序言
中文版前言
前言
第1节 什么是代数？
坐标化的思想。例子：量子力学词汇表，关联公理和平行性的有限模型的坐标化。
第2节 域
域的公理，同构。独立变量的有理函数域；平面代数曲线的函数域。laurent级数域和形式 laurent 级数域。
第3节 交换环
环的公理；零因子和整环。分式域。多项式环。平面代数曲线上的多项式函数环。幂级数环与形式幂级数环。boole环。环的直和。连续函数环。因子分解；唯一因子分解整环（ufd）ufd的例子。
第4节 同态和理想
同态，理想，商环。同态定理。函数环中的限制同态。主理想整环；与ufd的关系。理想的积。域的特征。给定多项式有根的扩张。代数闭域。有限域。用极大理想和素理想上的函数表示一般环的元素。作为函数的整数。超积与非标准分析。交换的微分算子。
第5节 模
直和与自由模。张量积。模的张量幂、对称幂和外幂，对偶模。等价的理想和模的同构。微分形式模和向量场。向量空间族与模族。
第6节 从代数角度看维数
模的秩。有限型模。主理想整环上的有限型模。noether 模和noether环。noether环和有限型环。分次环的情形。扩张的超越次数。有限扩张。
第7节 无穷小概念的代数观点模2阶无穷小的函数和流形的切空间。奇点。向量场与1阶微分算子。高阶无穷小。射流和微分算子。环的完备化，p进数。赋范域。有理数域和有理函数域的赋值。数论中的p进数域。
第8节 非交换环
基本定义。环上的代数。模的自同态环。群代数。四元数与可除代数。扭曲子纤维化。可除代数上n维向量空间的自同态。张量代数和非交换多项式环。外代数；超代数；cli?ord代数。单环和单代数。可除代数上向量空间自同态环的左理想和右理想。
第9节 非交换环上的模
.模和表示。代数用矩阵形式的表示。单模，合成列，jordan-holder定理。环或模的长度。模的自同态环。schur引理。
第10节 半单模和半单环
半单性。群代数是半单的。半单环上的模。有限长度的半单环；wedderburn定理。有限长度的单环与射影几何基本定理。因式和连续几何。代数闭域上有限秩的半单代数。对有限群表示的应用。
第11节 有限秩的可除代数
r或有限域上的有限秩可除代数。tsen定理和拟代数闭域。p进数域和有理域上有限秩的中心可除代数。
第12节 群的概念
变换群，对称，自同构。动力系统的对称和守恒律。物理定律的对称。群，正则作用。子群，正规子群，商群。元素的阶。理想类群。模的扩张的群。brauer 群。两个群的直积。
第13节 群的例子：有限群
对称群和交错群。正多边形和正多面体的对称群。格的对称群。晶体的类。由反射生成的有限群。
第14节 群的例子：无限离散群
离散变换群。晶体群。lobachevsky平面的离散运动群。模群。自由群。由生成元和关系确定的群。逻辑问题。基本群。纽结群。辫群。
第15节 群的例子：lie 群和代数群
lie群。环面。在liouville定理中的作用。
a 紧致lie群
典型的紧致群以及它们之间的一些关系。
b 复解析lie群
典型的复lie群。其他一些lie群。lorentz群。
c 代数群
代数群，ad`ele群。tamagawa数。
第16节 群论的一般结果
直积。wedderburn-remak-shmidt 定理。合成列，jordan-h¨older
定理。单群，可解群。单紧致 lie 群。单复 lie 群。有限单群，分类。
第17节 群表示
a 有限群的表示
表示，正交关系。
b 紧致lie群的表示
紧致群的表示。在群上积分。helmholtz-lie 理论。紧致 abel 群的特征标和 fourier 级数。4维riemann几何中的weyl和ricci 张量。su(2)和so(3)的表示。zeeman 效应。
c 典型复 lie 群的表示
非紧致lie群的表示。有限维典型复lie群表示的完全不可约性。
第18节 群的一些应用
a galois 理论
galois理论。根式解方程。
b 线性微分方程的galois理论(picard-vessiot 理论)
c 非分歧覆盖的分类
非分歧覆盖的分类和基本群。
d 不变式理论
不变式理论的第一基本定理。
e 群表示和基本粒子的分类
第19节 lie 代数和非结合代数
a lie 代数
poisson括号作为lie代数的例子。lie环和lie代数。
b lie 理论
lie群的lie代数。
c lie 代数的应用
lie 群与刚体运动。
d 其他非结合代数
cayley 数。8 维空间的 6 维子流形上的殆复结构。非结合的实可除代数。
第20节 范畴
图和范畴。泛映射问题。函子。拓扑中发生的函子：圈空间，双角锥。范畴中的群对象。同伦群。
第21节 同调代数。
a 同调代数概念的拓扑起源
复形及其同调。多面体的同调和上同调。不动点定理。微分形式和 de rham 上同调；de rham 定理。长正合上同调序列。
b 模和群的上同调
模的上同调。群上同调。离散群上同调的拓扑意义。
c 层上同调
层；层上同调。有限性定理。riemann-roch 定理。
第22节 k-理论
a 拓扑 k-理论
向量丛和函子 vec(x)。周期性和函子 kn(x)。k1(x) 和无限维线性群。椭圆微分算子的符号。指标定理。
b 代数 k-理论
投射模类的群。环的 k0，k1 和 kn，域的 k2 及其与 brauer群的关系。k-理论和算术。
关于文献的注释
参考文献
人名索引
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