《数学分析原理(第一卷)(第9版)》
《俄罗斯数学教材选译》序
序言
第一章实数 1
x1. 实数集合及其有序化 1
1. 前言 1
2. 无理数定义 2
3. 实数集合的有序化 4
4. 实数的无尽十进小数的表示法 5
5. 实数集合的连续性 7
6. 数集合的界 8
x2. 实数的四则运算 10
7. 实数的和的定义及其性质 10
8. 对称数 绝对值 11
9. 实数的积的定义及其性质 13
x3. 实数的其他性质及其应用 14
10. 根的存在性 具有有理指数的乘幂 14
11. 具有任何实指数的乘幂 16
12. 对数 17
13. 线段的测量 18
. ii 第二章一元函数 20
x1. 函数概念 20
14. 变量 20
15. 变量的变域 21
16. 变量间的函数关系 例题 21
17. 函数概念的定义 22
18. 函数的解析表示法 24
19. 函数的图形 25
20. 以自然数为变元的函数 26
21. 历史的附注 28
x2. 几类最重要的函数 29
22. 初等函数 29
23. 反函数的概念 32
24. 反三角函数 33
25. 函数的叠置 结束语 36
第三章极限论 38
x1. 函数的极限 38
26. 历史的说明 38
27. 数列 38
28. 序列的极限定义 39
29. 无穷小量 41
30. 例 42
31. 无穷大量 44
32. 函数极限的定义 45
33. 函数极限的另一定义 47
34. 例 48
35. 单侧极限 53
x2. 关于极限的定理 54
36. 具有有限的极限的自然数变元的函数的性质 54
37. 推广到任意变量的函数情形 56
38. 在等式与不等式中取极限 57
39. 关于无穷小量的引理 58
40. 变量的算术运算 59
41. 未定式 61
42. 推广到任意变量的函数情形 63
43. 例 64
x3. 单调函数 67
44. 自然数变元的单调函数的极限 67
45. 例 69
46. 关于区间套的引理 70
47. 在一般情形下单调函数的极限 71
x4. 数e 73
48. 数e 看作序列的极限 73
49. 数e 的近似计算法 74
50. 数e 的基本公式 自然对数 76
x5. 收敛原理 78
51. 部分序列 78
52. 以自然数为变元的函数存在有限极限的条件 80
53. 任意变元的函数存在有限极限的条件 81
x6. 无穷小量与无穷大量的分类 83
54. 无穷小量的比较 83
55. 无穷小量的尺度 84
56. 等价的无穷小量 84
57. 无穷小量的主部的分离 86
58. 应用问题 86
59. 无穷大量的分类 88
第四章一元连续函数 89
x1. 函数的连续性(与间断点) 89
60. 函数在一点处的连续性的定义 89
61. 单调函数的连续性条件 91
62. 连续函数的算术运算 91
63. 初等函数的连续性 92
64. 连续函数的叠置 94
65. 几个极限的计算 94
66. 幂指数表达式 96
67. 间断点的分类 例子 97
x2. 连续函数的性质 98
68. 关于函数取零值的定理 98
69. 应用于解方程 100
iv 70. 关于中间值的定理 101
71. 反函数的存在性 102
72. 关于函数的有界性的定理 103
73. 函数的最大值与最小值 104
74. 一致连续性的概念 105
75. 关于一致连续性的定理 106
第五章一元函数的微分法 108
x1. 导数及其计算 108
76. 动点速度的计算问题 108
77. 作曲线的切线的问题 109
78. 导数的定义 111
79. 计算导数的例 114
80. 反函数的导数 116
81. 导数公式汇集 117
82. 函数增量的公式 118
83. 计算导数的几个最简单法则 119
84. 复合函数的导数 121
85. 例 122
86. 单侧导数 124
87. 无穷导数 124
88. 特殊情况的例子 125
x2. 微分 126
89. 微分的定义 126
90. 可微性与导数存在之间的关系 127
91. 微分的基本公式及法则 129
92. 微分形式的不变性 130
93. 微分作为近似公式的来源 131
94. 微分在估计误差中的应用 132
x3. 高阶导数及高阶微分 133
95. 高阶导数的定义 133
96. 任意阶导数的普遍公式 134
97. 莱布尼茨公式 136
98. 高阶微分 138
99. 高阶微分形式不变性的破坏 139
第六章微分学的基本定理 140
x1. 中值定理 140
100. 费马定理 140
101. 罗尔定理 141
102. 有限增量定理 142
103. 导数的极限 144
104. 有限增量定理的推广 144
x2. 泰勒公式 145
105. 多项式的泰勒公式 145
106. 任意函数的展开式 147
107. 余项的其他形式 150
108. 已得的公式在初等函数上的应用 152
109. 近似公式 例 153
第七章应用导数来研究函数 157
x1. 函数的变化过程的研究 157
110. 函数为常数的条件 157
111. 函数为单调的条件 158
112. 极大及极小 必要条件 159
113. 第一法则 160
114. 第二法则 162
115. 函数的作图 163
116. 例 164
117. 高阶导数的应用 166
x2. 函数的最大值及最小值 167
118. 最大值及最小值的求法 167
119. 问题 168
x3. 未定式的定值法 169
型未定式 169
型未定式 172
122. 其他类型的未定式 173
第八章多元函数 176
x1. 基本概念 176
123. 变量之间的函数关系 例 176
124. 二元函数及其定义区域 177
125. m 维算术空间 179
126. m 维空间中的区域举例 181
127. 开区域及闭区域的一般定义 183
128. m 元函数 184
129. 多元函数的极限 186
130. 例 188
131. 累次极限 189
x2. 连续函数 191
132. 多元函数的连续性及间断 191
133. 连续函数的运算 193
134. 关于函数取零值的定理 194
135. 波尔查诺{ 魏尔斯特拉斯引理 195
136. 关于函数有界性的定理 196
137. 一致连续性 196
第九章多元函数的微分学 199
x1. 多元函数的导数与微分 199
138. 偏导数 199
139. 函数的全增量 200
140. 复合函数的导数 203
141. 例 204
142. 全微分 205
143. 一阶微分形式的不变性 207
144. 全微分在近似计算中的应用 209
145. 齐次函数 210
x2. 高阶导数与高阶微分 212
146. 高阶导数 212
147. 关于混合导数的定理 213
148. 高阶微分 216
149. 复合函数的微分 218
150. 泰勒公式 219
x3. 极值、最大值与最小值 220
151. 多元函数的极值 必要条件 220
152. 静止点的研究(二元函数的情况) 222
153. 函数的最大值与最小值 例子 225
154. 问题 227
第十章原函数(不定积分) 230
x1. 不定积分及其最简单的计算法 230
155. 原函数概念(及不定积分概念) 230
156. 积分与求面积问题 233
157. 基本积分表 234
158. 最简单的积分法则 235
159. 例 237
160. 换元积分法 238
161. 例 240
162. 分部积分法 242
163. 例 242
x2. 有理式的积分 244
164. 有限形式积分法问题的提出 244
165. 简单分式及其积分 245
166. 真分式的积分 246
167. 奥斯特罗格拉茨基的积分有理部分分出法 249
x3. 某些根式的积分法 251
168. 型根式的积分法 251
169. 二项式微分的积分法 252
170. r(x;pax2 + bx + c) 型根式的积分法 欧拉替换法 254
x4. 含有三角函数及指数函数的式子的积分法 258
171. 微分式r(sin x; cos x)dx 的积分法 258
172. 其他情形概述 260
x5. 椭圆积分 261
173. 定义 261
174. 化为典式 262
第十一章定积分 264
x1. 定积分定义及存在条件 264
175. 解决面积问题的另一途径 264
176. 定义 265
177. 达布和 267
178. 积分存在条件 269
179. 可积函数类别 270
x2. 定积分性质 272
180. 依有向区间的积分 272
181. 可用等式表出的性质 273
182. 可用不等式表出的性质 274
183. 定积分作为上限的函数 277
x3. 定积分的计算及变换 279
184. 用积分和的计算 279
185. 积分学基本公式 281
186. 定积分中变量替换公式 282
187. 定积分的分部积分法 283
188. 沃利斯公式 284
x4. 积分的近似计算 285
189. 梯形公式 285
190. 抛物线公式 287
191. 近似公式的余项 289
192. 例 291
第十二章积分学的几何应用及力学应用 293
x1. 面积及体积 293
193. 面积概念的定义 可求积区域 293
194. 面积的可加性 294
195. 面积作为极限 295
196. 以积分表出面积 296
197. 体积概念的定义及其性质 299
198. 以积分表出体积 301
x2. 弧长 305
199. 弧长概念的定义 305
200. 引理 307
201. 以积分表出弧长 308
202. 变弧及其微分 311
203. 空间曲线的弧长 313
x3. 力学及物理上的数量的计算 314
204. 定积分应用程式 314
205. 旋转面面积 316
206. 曲线的静矩及质心的求法 318
207. 平面图形的静矩及质心的求法 320
208. 力功 321
第十三章微分学的一些几何应用 323
x1. 切线及切面 323
209. 平面曲线的解析表示法 323
210. 平面曲线的切线 324
211. 切线的正方向 328
212. 空间曲线 329
213. 曲面的切面 331
x2. 平面曲线的曲率 332
214. 凹向 拐点 332
215. 曲率概念 334
216. 曲率圆及曲率半径 336
第十四章数学分析基本观念发展简史 339
x1. 微积分前史 339
217. 17 世纪与无穷小分析 339
218. 不可分素方法 339
219. 不可分素学说的进一步发展 341
220. 求最大及最小(极大极小) 切线作法 343
221. 借助运动学想法来作切线 345
222. 切线作法问题与求积问题的互逆性 345
223. 上述的总结 346
x2. 依萨克 牛顿(isaac newton, 1642 1727) 347
224. 流数计算法 347
225. 流数计算法的逆计算法 求积 349
226. 牛顿的\原理" 及极限理论的萌芽 351
227. 牛顿的奠基问题 351
x3. 莱布尼茨(gottfried wilhelm leibniz, 1646 1716) 352
228. 建立新计算法的初步 352
229. 最先刊行的微分学著作 353
230. 最先刊行的积分学著作 354
231. 莱布尼茨的其他著作 学派的建立 355
232. 莱布尼茨的奠基问题 355
233. 结尾语 356
索引 357