序言
第1章　镜子的独白　　1
1.1　谁是老实人　　1
1.1.1　镜子呀镜子　　1
1.1.2　谁是老实人　　3
1.1.3　相同的回答　　7
1.1.4　回答是沉默　　8
1.2　逻辑谜题　　9
1.2.1　爱丽丝、博丽丝和克丽丝　　9
1.2.2　用表格来想　　10
1.2.3　出题者的心思　　14
1.3　帽子是什么颜色　　15
1.3.1　不知道　　15
1.3.2　对出题者的验证　　18
1.3.3　镜子的独白　　19
第2章　皮亚诺算术　　23
2.1　泰朵拉　　23
2.1.1　皮亚诺公理　　23
2.1.2　无数个愿望　　27
2.1.3　皮亚诺公理 PA1　　28
2.1.4　皮亚诺公理 PA2　　29
2.1.5　养大　　32
2.1.6　皮亚诺公理PA3　　34
2.1.7　小的？　　35
2.1.8　皮亚诺公理 PA4　　36
2.2　米尔嘉　　39
2.2.1　皮亚诺公理PA5　　42
2.2.2　数学归纳法　　43
2.3　在无数脚步之中　　50
2.3.1　有限？无限？　　50
2.3.2　动态？静态？　　51
2.4　尤里　　52
2.4.1　加法运算？　　52
2.4.2　公理？　　54
第3章　伽利略的犹豫　　57
3.1　集合　　57
3.1.1　美人的集合　　57
3.1.2　外延表示法　　58
3.1.3　餐桌　　60
3.1.4　空集　　61
3.1.5　集合的集合　　62
3.1.6　公共部分　　64
3.1.7　并集　　67
3.1.8　包含关系　　69
3.1.9　为什么要研究集合　　71
3.2　逻辑　　72
3.2.1　内涵表示法　　72
3.2.2　罗素悖论　　74
3.2.3　集合运算和逻辑运算　　77
3.3　无限　　79
3.3.1　双射鸟笼　　79
3.3.2　伽利略的犹豫　　83
3.4　表示　　86
3.4.1　归途　　86
3.4.2　书店　　87
3.5　沉默　　88
3.5.1　美人的集合　　88
第4章　无限接近的目的地　　91
4.1　家中　　91
4.1.1　尤里　　91
4.1.2　男生的“证明”　　92
4.1.3　尤里的‘证明’　　93
4.1.4　尤里的‘疑惑’　　96
4.1.5　我的讲解　　97
4.2　超市　　99
4.2.1　目的地　　99
4.3　音乐教室　　104
4.3.1　字母的导入　　104
4.3.2　极限　　106
4.3.3　凭声音决定音乐　　108
4.3.4　极限的计算　　111
4.4　归途　　119
4.4.1　前途　　119
第5章　莱布尼茨之梦　　123
5.1　若尤里，则非泰朵拉　　123
5.1.1　“若……则……”的含义　　123
5.1.2　莱布尼茨之梦　　126
5.1.3　理性的界限？　　128
5.2　若泰朵拉，则非尤里　　129
5.2.1　备战高考　　129
5.2.2　上课　　131
5.3　若米尔嘉，则米尔嘉　　133
5.3.1　教室　　133
5.3.2　形式系统　　135
5.3.3　逻辑公式　　137
5.3.4　“若……则……”的形式　　140
5.3.5　公理　　142
5.3.6　证明论　　144
5.3.7　推理规则　　145
5.3.8　证明和定理　　147
5.4　不是我，还是我　　150
5.4.1　家中　　150
5.4.2　形式的形式　　151
5.4.3　含义的含义　　153
5.4.4　若“若……则……”，则……　　153
5.4.5　邀约　　157
第6章　ε- δ 语言　　159
6.1　数列的极限　　159
6.1.1　从图书室出发　　159
6.1.2　到达阶梯教室　　160
6.1.3　理解复杂式子的方法　　164
6.1.4　看“绝对值”　　166
6.1.5　看“若……，则……”　　169
6.1.6　看“所有”和“某个”　　170
6.2　函数的极限　　174
6.2.1　ε-δ　　174
6.2.2　ε-δ 的含义　　177
6.3　摸底考试　　178
6.3.1　上榜　　178
6.3.2　静寂的声音、沉默的声音　　179
6.4　“连续”的定义　　181
6.4.1　图书室　　181
6.4.2　在所有点处都不连续　　184
6.4.3　是否存在在一点处连续的函数　　186
6.4.4　逃出无限的迷宫　　187
6.4.5　在一点处连续的函数！　　188
6.4.6　诉衷肠　　192
第7章　对角论证法　　197
7.1　数列的数列　　197
7.1.1　可数集　　197
7.1.2　对角论证法　　201
7.1.3　挑战：给实数编号　　209
7.1.4　挑战：有理数和对角论证法　　213
7.2　形式系统的形式系统　　215
7.2.1　相容性和完备性　　215
7.2.2　哥德尔不完备定理　　222
7.2.3　算术　　224
7.2.4　形式系统的形式系统　　226
7.2.5　词汇的整理　　229
7.2.6　数项　　230
7.2.7　对角化　　231
7.2.8　数学的定理　　233
7.3　失物的失物　　233
7.3.1　游乐园　　233
第8章　两份孤独所衍生的产物　　229
8.1　重叠的对　　229
8.1.1　泰朵拉的发现　　229
8.1.2　我的发现　　235
8.1.3　谁都没发现的事实　　236
8.2　家中　　237
8.2.1　自己的数学　　237
8.2.2　表现的压缩　　237
8.2.3　加法运算的定义　　241
8.2.4　教师的存在　　244
8.3　等价关系　　245
8.3.1　毕业典礼　　245
8.3.2　对衍生的产物　　247
8.3.3　从自然数到整数　　248
8.3.4　图　　249
8.3.5　等价关系　　254
8.3.6　商集　　257
8.4　餐厅　　261
8.4.1　两个人的晚饭　　261
8.4.2　一对翅膀　　262
8.4.3　无力考试　　264
第9章　令人迷惑的螺旋楼梯　　267
9.1　π 弧度　　267
9.1.1　不高兴的尤里　　267
9.1.2　三角函数　　269
9.1.3　sin45°　　272
9.1.4　sin60°　　276
9.1.5　正弦曲线　　280
9.2　π 弧度　　284
9.2.1　弧度　　284
9.2.2　教人　　286
9.3　π 弧度　　287
9.3.1　停课　　287
9.3.2　余数　　288
9.3.3　灯塔　　290
9.3.4　海边　　292
9.3.5　消毒　　293
第10章　哥德尔不完备定理　　295
10.1　双仓图书馆　　295
10.1.1　入口　　295
10.1.2　氯　　296
10.2　希尔伯特计划　　298
10.2.1　希尔伯特　　298
10.2.2　猜谜　　300
10.3　哥德尔不完备定理　　304
10.3.1　哥德尔　　304
10.3.2　讨论　　306
10.3.3　证明的概要　　308
10.4　春天——形式系统P　　308
10.4.1　基本符号　　308
10.4.2　数项和符号　　310
10.4.3　逻辑公式　　311
10.4.4　公理　　312
10.4.5　推理规则　　315
10.5　午饭时间　　316
10.5.1　元数学　　316
10.5.2　用数学研究数学　　317
10.5.3　苏醒　　317
10.6　夏天——哥德尔数　　319
10.6.1　基本符号的哥德尔数　　319
10.6.2　序列的哥德尔数　　320
10.7　秋天——原始递归性　　323
10.7.1　原始递归函数　　323
10.7.2　原始递归函数（谓词）的性质　　326
10.7.3　表现定理　　328
10.8　冬天——通往可证明性的漫长之旅　　331
10.8.1　整理行装　　331
10.8.2　数论　　332
10.8.3　序列　　334
10.8.4　变量•符号•逻辑公式　　336
10.8.5　公理、定理、形式证明　　346
10.9　新春——不可判定语句　　350
10.9.1　“季节”的确认　　350
10.9.2　种子——从含义的世界到形式的世界　　352
10.9.3　绿芽——p 的定义　　354
10.9.4　枝杈——r 的定义　　355
10.9.5　叶子——从A1往下走　　356
10.9.6　蓓蕾——从B1开始往下走　　357
10.9.7　不可判定语句的定义　　357
10.9.8　梅花——¬IsProvable(g)　　358
10.9.9　桃花——¬IsProvable(not(g)) 的证明　　360
10.9.10　樱花——证明形式系统P是不完备的　　362
10.10　不完备定理的意义　　364
10.10.1　“‘我’是无法证明的”　　364
10.10.2　第二不完备定理的证明之概要　　368
10.10.3　不完备定理衍生的产物　　371
10.10.4　数学的界限？　　372
10.11　带上梦想　　374
10.11.1　并非结束　　374
10.11.2　属于我　　375
尾　声　　379
后　记　　383
参考文献和导读　　387